Introdução
Número é um objeto matemático usado para descrever ordem, medida ou quantidade. Você se depara com números o dia todo: na escola, no trabalho, na igreja, no carro, na sua conta bancária, entre outros.
Faremos uma abordagem dos conjuntos formados por números, motivo pelo qual são chamados de conjuntos numéricos.
Números Naturais
Deparamo-nos com inúmeras situações que envolvem contagens: quantos objetos existem em determinadas situações; quantos irmãos você tem; quantas pessoas têm sem seu trabalho, entre outras. Os números envolvidos no processo de contagem são chamados de Naturais. Definimos como Conjunto dos Números Naturais aquele formado por todos os elementos usados no processo de contagem. Simbolicamente, escrevemos
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
N* = {1, 2, 3, 4, ...}
Números Inteiros
Dizemos que um número k é inteiro se ele for natural ou oposto em relação a um natural. Dois números são chamados de opostos se a soma entre eles for zero, por exemplo, 2 e –2 são opostos. Como 2 é natural, ele é inteiro; ainda, –2 é inteiro, pois é oposto de um natural.
Definimos como Conjunto dos Números Inteiros aquele constituído por todos os naturais unidos com os opostos dos naturais.
Simbolicamente, escrevemos:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... }
Números Racionais
Outro conjunto importante é o chamado Conjunto dos Números Racionais. Definimos como racional todo número que pode ser escrito na forma \(\frac{\text{a}}{\text{b}}\), com a e b números inteiros e b diferente de zero. Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes entre dois números inteiros a e b, com b sendo não nulo.
\(Q=\left\{ x=\frac{a}{b}/a,b\in Z\text{ e }b\ne 0 \right\}\)
Você deve ter percebido que, pela definição, um número inteiro também é racional, basta ver que podemos escrever um inteiro k com a forma k/1.
Alguns exemplos de racionais:
a) 2,45 pois \(\frac{245}{100}=\frac{49}{20}\) = 2,45;
b) 8 pois \(\frac{8}{1}\) = 8;
c) 0,3333... pois \(\frac{1}{3}\)= 0,3333...
Os números racionais podem ser representados de várias formas. Abaixo, listamos algumas: frações (próprias ou impróprias), números mistos (que são uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita com forma finita, dízimas periódicas (que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos). Veja:
I) Em forma de fração ordinária:
Exemplos:
\(\frac{3}{5}\), \(\frac{4}{11}\), \(\frac{7}{9}\) .
II) Números mistos:
Exemplos:
\(6\frac{2}{5}\), \(-3\frac{1}{4}\), \(\frac{34}{19}\).
III) Números Decimais com forma finita:
Exemplos:
\(0,8=\frac{4}{5}\); \(1,22=\frac{61}{50}\) ; \(-2,5=-\frac{5}{2}\).
IV) Dízimas Periódicas:
Exemplos:
\(1,6666...=\frac{5}{3}\); \(0,727272...=\frac{8}{11}\); \(3,3333...=\frac{10}{3}\).
(CESGRANRIO) Se p/q é a fração irredutível equivalente à dízima periódica 0,323232... , então q – p vale:
a) 64.
b) 67.
c) 68.
d) 69.
e) 71.
Resolução:
Seja x = 0,323232..., ainda temos 100x = 32,323232..., desta forma 100x – x = 32,323232... – 0,323232..., o que implica em 99x = 32. Desta forma, x = 32/99 = p/q. Logo, p = 32 e q = 99.
Assim q – p = 99 – 32 = 67. A resposta correta está representada pelo item b.
Números Irracionais
Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais, mas não racionais.
Exemplos de irracionais:
π =3,141592...; 2,3456734... ; \(\sqrt{2}\).
Números Reais
Você já teve contato com os números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Algumas observações podem ser feitas, entre elas uma relação de inclusão entre esses conjuntos, por exemplo, todo natural é inteiro, logo o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros; ainda, todo número inteiro é racional, logo o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos racionais. Agora, iremos introduzir um conjunto no qual todos os conjuntos citados até aqui estão contidos, o chamado Conjunto dos Números Reais.
Definimos como Conjunto dos Números Reais como o conjunto formado por todos os números racionais e todos os irracionais.
Simbolicamente, o conjunto dos números reais é representado por ℝ.
ℝ = {x/x é racional ou x é irracional}
Os números 4; 3,25; \(\sqrt{2}\) e 0,444... são casos de números reais.
Os números \(\sqrt{-16}\) e \(\sqrt[4]{-7}\) são casos de números que não são reais.
