Introdução
Trabalharemos com os chamados múltiplos e divisores. Em especial, faremos uso de uma ferramenta importante em Matemática, em especial em Aritmética, que é o cálculo de MMC e MDC através de fatoração única por números primos, bem como aplicações em problemas.
Múltiplos e Divisores
Sejam os números naturais a e b. Dizemos que a é múltiplo de b se existe um número natural k que satisfaz
a = k.b
Nestas condições, dizemos que b é divisor de a. Observe que \(\frac{\text{a}}{\text{b}}=\text{k}\).
Definimos com M(c) o conjunto dos múltiplos de c; de D(c) o conjunto dos divisores de c.
M(5) indica os múltiplos de 5, ou seja:
M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ... };
D(24) indica os divisores de 24, ou seja;
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Números primos
Dizemos que um número natural é primo se ele apresenta exatamente dois divisores naturais. A sequência dos números primos é dada por
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}
Observação: A expressão a e b são primos entre si indica que, na fatoração dos números naturais a e b, não existe fator em comum.
Mínimo Múltiplo Comum
Chamamos de mínimo múltiplo comum (abreviadamente m.m.c.) de dois ou mais números naturais o menor número não nulo que é múltiplo comum de todos os números dados. Para se obter o m.m.c., fazemos o produto de todos os fatores primos, comuns ou não, levando em consideração o maior expoente que aparece na decomposição desses números.
01. Determine o MMC entre os números 36 e 48.
Resolução:
Devemos fatorar os número 36 e 48.
Assim, vemos que 36 = 2\(^{2}\) . 3\(^{2}\) e 48 = 2\(^{4}\) . 3\(^{1}\). Usando todos os fatores primos e seus respectivos maiores expoentes, podemos afirmar que MMC(36, 48) = 2\(^{4}\) . 3\(^{2}\) = 144.
Podemos também fatorar simultaneamente os números 36 e 48.
\[\left. \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 36,48 \\ 18,24 \\ \end{matrix} \\ 9,12 \\ 9,6 \\ \end{matrix} \\ 9,3 \\ 3,1 \\ \end{matrix} \\ 1 \\ \end{matrix} \right|\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \\ 2 \\ \end{matrix} \\ 2 \\ \end{matrix} \\ 3 \\ \end{matrix} \\ 3 \\ \end{matrix} \\ \overline{{{2}^{4}}{{.3}^{2}}=144} \\ \end{matrix}\]
02. (UEM) O cometa X “visita” a Terra a cada 26anos, enquanto o cometa Y, a cada 91 anos. Sabe-se que ambos “visitaram” a Terra em 1889. Apósessa data, o número de vezes que o cometa X deverá passar pela Terra, até queos dois a “visitem” no mesmo ano é:
Resolução:
Devemos encontrar o primeiro múltiplo diferente de zero dos números 26 e 91. Fatorando juntos esses números temos
\[\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 26,91 \\ 13,91 \\ \end{matrix} \\ 13,13 \\ \end{matrix} \\ 1,1 \\ \end{matrix}\left| \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 7 \\\end{matrix} \\ 13 \\ \end{matrix} \\ \overline{2,7.13=182} \\ \end{matrix} \right.\]
Assim, após 1889, devemos contar 182 anos para que eles “visitem” a Terra novamente juntos. Para descobrir a quantidade de vezes que o cometa X deverá passar pela Terra basta dividir 182 anos por 26, logo temos 7 vezes.
Máximo Divisor Comum
Definimos máximo divisor comum (representado por m.d.c.) entre dois ou mais números naturais como o maior número positivo que é divisor comum de todos esses números.
Podemos obter o m.d.c. de um conjunto de números com o produto de todos os fatores primos comuns, levando em consideração os expoentes menores desses fatores comuns.
01. Determine o MDC entre os números 36 e 48.
Resolução:
Devemos fatorar os número 36 e 48.
Os fatores circulados são comuns entre eles. Logo, o MDC é igual a 2.2.3 = 12.
02. (UEM) Para distribuir 105 litros de álcool, 120 litros de azeite e 75 litros de água em barris de mesma capacidade, de modo que a quantidade de barris seja a menor possível, a capacidade de cada barril, em litros, deve ser de:
Logo, para se obter a menor quantidade de barris, eles devem ter a capacidade de 3.5 = 15 litros.
