Introdução
Comumente nos deparamos com placas que indicam distâncias ou perguntamos onde fica determinado lugar e recebemos como resposta que ele está a uma quantidade de quilômetros de distância. Em situações que envolvem o conceito de distância, sempre usamos, como medida, um número positivo.
Definimos como distância a medida da separação de dois pontos. Quando se fala na distância entre dois pontos da superfície terrestre, estamos nos referindo ao mínimo comprimento entre as possíveis trajetórias sobre a superfície, partindo de um ponto e atingindo o outro. Assim falamos em distância ferroviária, distância aérea, distância rodoviária, entre outras. A distância é sempre uma medida positiva e tem a propriedade de ter o mesmo valor indo do ponto A ao B e vice-versa, isto é, a distância de um ponto A até um ponto B é a mesma distância do ponto B até o ponto A. Agora iremos introduzir o conceito de módulo que está ligado a definição de distância.
Módulo ou Valor Absoluto
O conceito de módulo ou valor absoluto de um número real x está ligado à ideia de distância de um ponto da reta à origem. Quando nos referirmos ao módulo de x, estaremos indicando a distância de x a zero na reta real.
Definimos módulo ou valor absoluto de um número real como |x| e usaremos essas duas barras para representar o módulo de x.
Algebricamente, entende-se como módulo:
\[\left| \text{x} \right|=\left\{\begin{matrix} \text{x se x}\ge 0 \\ -\text{x se x}<0 \\ \end{matrix} \right.\]
Através dessa definição, podemos afirmar que:
i) o módulo de um número real não negativo é o próprio número.
ii) o módulo de um número real negativo é o oposto do número.
Podemos citar algumas propriedades dos módulos para x e y reais:
- |x| ≥ 0.
- |x.y| = |x|.|y| .
a) |+5| = 5 e |–5| = –(–5) = 5
b) |12| = 12 e |–12| = –(–12) = 12
c) |x – 3| = x – 3, se x – 3 ≥ 0, ou seja, x ≥ 3
– (x – 3), se x – 3 < 0, ou seja, x < 3
Equações Modulares
Equações são expressões algébricas matemáticas que possuem uma ou mais incógnitas, sempre apresentadas com o sinal de igualdade. Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita. Para resolvermos equações modulares, devemos respeitar as condições de existência da definição de módulo. A seguir, apresentamos, como exemplos, algumas equações modulares.
Exemplo resolvido
Obter a solução da equação |x + 3| = 7.
Resolução:
Pelas condições do módulo, devem ter x + 3 = 7 ou x + 3 = –7. Resolvendo separadamente cada uma dessas condições, temos:
x + 3 = 7 → x = 7 – 3 → x = 4
x + 3 = –7 → x = – 7 – 3 → x = –10
Logo, o conjunto solução da equação é S = {–10; 4}.
