Introdução
O conceito de conjuntos é extremamente importante na Matemática. Ele é base para vários assuntos, tais como funções, matrizes e estatística. No nosso dia a dia, há vários deles: a nossa sala de aula; os habitantes de uma cidade, os dias da semana; as luas de Saturno; os estados brasileiros; entre outros. Então, como definir um conjunto?
Conjunto é um ente primitivo, ou seja, um conceito aceito sem definição formal. Então, você deve continuar com a ideia formada de coleção.
Definimos Teoria dos Conjuntos como o ramo da Matemática que estuda e que define os conjuntos. Embora qualquer tipo de elemento tenha a possibilidade de ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada, na maioria das vezes, a elementos que são relevantes a algum estudo para a matemática ou para outra ciência.
Representação de Conjuntos
Para designar nomes de conjuntos, costumamos usar letras maiúsculas de nosso alfabeto, como A, B, C etc. Para representarmos conjuntos, habitualmente usamos três formas:
Representação por Tabulação
Nessa representação, colocamos os elementos de um conjunto entre chaves separadas por vírgula, ou também podemos usar ponto e vírgula.
a) A = {primavera, verão, outono, inverno}
b) B = {3, 7, 8, 9}
Se os elementos do conjunto são números decimais é interessante usarmos ponto e vírgula para separar os elementos, pois desta forma não existe a possibilidade de confusão entre a vírgula que separa o número e a vírgula que define a parte decimal. Olhe este exemplo:
C = {2,34; 1,83; 1,27; 1,08; 0,99}
Representação por uma característica
Nessa representação, os elementos são descritos por uma frase, proposição ou algo que os determine.
A = {x/x tem a propriedade p}
a) A = {x/x é vogal}
b) B = {x/x é país da América do Sul}
Representação no diagrama de Venn.
Nessa representação, os elementos são simbolizados por pontos interiores a uma região plana delimitada por uma linha fechada que não se entrelaça.
Relação de Pertinência
Quando um elemento x faz parte do conjunto A, dizemos que ele pertence ao conjunto A e indicamos essa relação por x ∈ A; de forma contrária, quando o elemento não faz parte de A, dizemos que ele não pertence a A e indicamos por x ∉ A.
Seja o conjunto A = {0, 2, 4, 8}, temos que 4 ∈ A e 7 ∉ A.
Igualdade entre Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos. Simbolicamente representamos.
\(A=B\Rightarrow(\forall x)(x\in A\Leftrightarrow x\in B)\)
Exemplo resolvido
Determine x para que os conjuntos A = {x, 2, 3, 5} e B = {2, 4, 5, 3} sejam iguais.
Resolução:
Para que os conjuntos A e B sejam iguais, eles devem ter os mesmo elementos, logo x = 4.
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
Um conjunto caracterizado por possuir apenas um elemento é chamado de conjunto unitário. Por exemplo, o conjunto A = {x/x é dia da semana que começa com a letra D} só tem um elemento.
Se um conjunto não possui nenhum elemento, ele é chamado de conjunto vazio. O conjunto B = {x/x é mês do ano que começa com T} é um exemplo de conjunto sem elementos, logo é um conjunto vazio, a sua representação pode ser feita utilizando duas simbologias: { } ou Ø.
Conjunto Universo
É o conjunto representativo de todos os elementos da conjuntura na qual estamos trabalhando e de todos os conjuntos relacionados. Por exemplo, o universo da Biologia é o conjunto dos seres vivos; o universo da História da humanidade é o conjunto dos acontecimentos passados ligados ao ser humano. Na representação do conjunto universo utilizamos a letra maiúscula U.
Relação de Subconjunto
Um conjunto A é subconjunto de B, se e só se, todo elemento que pertence a A pertence a B.
\(A \subset B\to \) lê-se A está contido em B (relação de inclusão).
Exemplo resolvido
Seja B o conjunto formado por todos os estados do Brasil. Consideremos S o conjunto dos estados da região Sul do Brasil, que é composta por Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. Então, podemos dizer que o conjunto S é subconjunto de B, pelo fato de todos os seus elementos também pertencerem a B.
Observações:
- \(\varnothing\subset A,\forall A\)
- \(A\subset A,\forall A\)
- Dois conjuntos são iguais A = B, se e só se, \(A\subset B\) e \(B\subset A\).
- A ⊃ B significa A contém B.
- \(A\not\subset B\) e \(C\not ⊅ D\) significa, respectivamente, A não está contido em B e C não contém D.
Símbolos usados em conjuntos
