Introdução
Quando falamos de operações, logo nos vem à mente a adição, a subtração, a divisão e a multiplicação entre números. Os conjuntos também têm sua álgebra e é possível operá-los. Iremos estudar as principais operações com conjuntos e saber como aplicá-las e resolver exercícios variados. Essas operações são conhecidas como: união de conjuntos, interseção de conjuntos, diferença de conjuntos e complementar de conjuntos.
Fonte: pixabay.com/pt/photos/futebol-o-jogador-de-futebol-3700192/
União ou reunião entre conjuntos
Chamamos de união entre os conjuntos A e B um conjunto gerado pelo agrupamento de todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, ou seja, a união de A com B é o conjunto formado por todos os elementos pertencentes a A ou a B.
Simbolicamente representamos a união entre dois conjuntos A e B pelo símbolo A ∪ B e definimos da seguinte maneira:
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
Preste atenção no conectivo “ou” da definição, com sentido inclusivo; ele é o indicador da união (ou reunião) entre conjuntos.
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = {3, 5, 7}, então A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7}.
Propriedades da União:
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, temos:
\({{P}_{1}}\). A ∪ B = B ∪ A.
\({{P}_{2}}\). (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
\({{P}_{3}}\). A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B
Intersecção entre conjuntos
Consideramos como intersecção entre os conjuntos A e B um conjunto gerado pelos elementos que aparecem simultaneamente entre eles, ou seja, a intersecção de A com B é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B.
Simbolicamente representamos a intersecção entre dois conjuntos A e B pelo símbolo A∩B, e definimos da seguinte maneira:
A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}
O conectivo “e” da definição, com sentido de simultaneidade, é o indicador da intersecção entre conjuntos.
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = {3, 5, 7}, então A ∩ B = {3, 7}.
Dois conjuntos A e B são chamados disjuntos se não tiverem nenhum elemento em comum. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos se sua intersecção representar um conjunto vazio.
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = { 5, 6, 8}, são disjuntos pois A ∩ B = ∅ .
Propriedades da Intersecção:
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, temos:
\({{P}_{1}}\). A ∩ B = B ∩ A
\({{P}_{2}}\). (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
\({{P}_{3}}\) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A
Por consequência dessa propriedade, temos que A ∩ ∅ = ∅ e A ∩ A = A.
Além das propriedades anteriores, há duas outras propriedades que são importantes: elas envolvem operações de união e intersecção.
\({{P}_{4}}\). A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
\({{P}_{5}}\). A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Analisando as operações de união e de intersecção entre os conjuntos A e B, é fácil verificar que o número de elementos da união é igual a soma do número de elementos do conjunto A com o número de elementos do conjunto B subtraído do número de elementos da intersecção entre eles.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Observe que, se os dois conjuntos forem disjuntos, temos
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
Diferença entre Conjuntos
Chamamos de diferença entre dois conjuntos A e B, nesta ordem, os elementos do conjunto A que não pertencem ao conjunto B.
A – B = {x/x ∈ A e x ∉ B}
Observe que a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos exclusivos de A, isto é, retira-se de A o que for comum com B. A operação de diferença não é comutativa.
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = { 3, 5, 7}, então A – B = {1, 2} e B = {5}.
O conjunto gerado por A – B, quando todos os elementos do conjunto B são elementos de A, é chamado de complementar de B em relação a A, indicamos \(\text{C}_{\text{A}}^{\text{B}}\).
\(\text{C}_{\text{A}}^{\text{B}}\) = A - B, com B ⊂ A.
Sejam os conjuntos A={2, 4, 6, 8, 9} e B = {4, 6, 8}. Vemos que B⊂A, então o complementar de B em A é \(\text{C}_{\text{A}}^{\text{B}}\) = A – B = {2, 9}.
Propriedades da diferença.
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, temos:
\({{P}_{1}}\). A ∩ B = ∅ ⇔ A – B = A
\({{P}_{2}}\). A ≠ B ⇔ A – B ≠ B – A
\({{P}_{3}}\). A ⊂ B ⇔ A - B = ϕ. A ⊂ B ⇔ A – B = ∅
Problemas Envolvendo Operações entre Conjuntos
Certas situações que se referem a conjuntos finitos podem ser representadas através de diagramas de Venn. Isso facilita de forma significativa a sua resolução. Daremos como exemplo a resolução de um problema passo a passo.
Uma pesquisa realizada com 200 pessoas teve como foco verificar a eficiência de um anúncio sobre dois produtos, A e B. Ao final dessa pesquisa verificou-se que, dos entrevistados, precisamente,
- 120 conhecem o produto A.
- 110 conhecem o produto B.
- 50 conhecem ambos os produtos.
Quantas pessoas, dentre as entrevistadas na pesquisa, não conhecem nenhum dos produtos.
Resolução:
1º) Pelas informações oferecidas no problema, temos que o número de elementos do conjunto A∩B é 80. Para facilitar iremos representar essa operação no diagrama indicando essa quantidade de pessoas.
2º) O conjunto A tem 120 elementos. Observe que 50 já foram representados, faltando, portanto, 70 pessoas. Esse número é a quantidade de elementos do conjunto A – B.
3º) De mesmo modo do passo anterior, o conjunto B tem 110 elementos, como 50 já foram indicados, então o conjunto B – A tem 60 elementos. O diagrama mostra esse conjunto.
4º) Para finalizar, o conjunto A∪B tem 70+50+60=180 elementos. Como estamos nos referindo a um universo de 200 pessoas, logo temos que 20 delas não conhecem o produto A nem o produto B.
